首先這是一場零和遊戲(zero sum game)
the loss of one person is the gain of the other
假設在賭博在時間t結束 參賽者初始財富為x元 壓一元參予賭局 投硬幣得到tail輸了錢就沒了 得到head拿到一元
Sn=x+X1+X2+.....Xn P(Xi=1)=0.5 P(Xi=-1)=0.5
是一平賭,也是一隨機漫步
t is the STOPPING TIME (the first time the amount of the money you have is equal to 0{you ruin} or x+b{your opponent ruin})
設破產機率為u 對手破產機率為1-u P(St=0)=u P(St=x+b)=1-u
應用 OPTIONAL STOPPING THEOREM E(St)=E(S0)=S0=x
又E(St)=(x+b)*(1-u)+0*u=x ---->u=b/(x+b)
所以破產機率可以經由上述martingale stopping 的簡單計算得到
接著看偏誤的隨機漫步 也就是P不等於q
Sn=x+X1+X2+.....Xn P(Xi=1)=p P(Xi=-1)=q
先說明指數平賭 Mn=exp(u*Sn-n*h(u)) where h(u)=lnE(exp(u*Xi)) E(Nn)=E[exp(u*Sn-n*h(u))]=exp(-n*h(u))*E(exp(u*Sn))=exp(-n*h(u))*E(exp(u*(x+X1+....Xn))) =exp(-n*h(u))*exp(u*(x)){E[exp(u*X1+...u*Xn)]}=exp(u*(x))*exp(-n*h(u))*exp(n*h(u)) (獨立性) =exp(u*(x))
S(n+1)=Sn+X(n+1) E(exp(u*S(n+1))/Fn)=E(exp(u*Sn+u*X(n+1))/Fn)=exp(u*Sn)E(exp(u*X(n+1))/Fn)=exp(u*Sn)E(exp(u*X(n+1))) (獨立性) =exp(u*Sn+h(u))
兩邊乘上exp(-(n+1)*h(u)) E(M(n+1)/Fn)=Mn (為一平賭)
選擇u=ln(q/p) exp(u*Xi)=(q/p)^Xi 且 Eexp(u*Xi)=1 so h(u)=lnE(exp(u*Xi))=0 且 exp(u*Sn-n*h(u))=(q/p)^Sn
E(Mn/F0)=M0 E(Mn)=E(M0)----->[(q/p)^(x+b)]*(1-u)+[q/p)^(0)]*(u)=x ---->u=[(q/p)^(b+x)-(q/p)^(x)]/[q/p)^(b+x)-1]
假設在賭博在時間t結束 參賽者初始財富為x元 壓一元參予賭局 投硬幣得到tail輸了錢就沒了 得到head拿到一元
Sn=x+X1+X2+.....Xn P(Xi=1)=0.5 P(Xi=-1)=0.5
是一平賭,也是一隨機漫步
t is the STOPPING TIME (the first time the amount of the money you have is equal to 0{you ruin} or x+b{your opponent ruin})
設破產機率為u 對手破產機率為1-u P(St=0)=u P(St=x+b)=1-u
應用 OPTIONAL STOPPING THEOREM E(St)=E(S0)=S0=x
又E(St)=(x+b)*(1-u)+0*u=x ---->u=b/(x+b)
所以破產機率可以經由上述martingale stopping 的簡單計算得到
接著看偏誤的隨機漫步 也就是P不等於q
Sn=x+X1+X2+.....Xn P(Xi=1)=p P(Xi=-1)=q
先說明指數平賭 Mn=exp(u*Sn-n*h(u)) where h(u)=lnE(exp(u*Xi)) E(Nn)=E[exp(u*Sn-n*h(u))]=exp(-n*h(u))*E(exp(u*Sn))=exp(-n*h(u))*E(exp(u*(x+X1+....Xn))) =exp(-n*h(u))*exp(u*(x)){E[exp(u*X1+...u*Xn)]}=exp(u*(x))*exp(-n*h(u))*exp(n*h(u)) (獨立性) =exp(u*(x))
S(n+1)=Sn+X(n+1) E(exp(u*S(n+1))/Fn)=E(exp(u*Sn+u*X(n+1))/Fn)=exp(u*Sn)E(exp(u*X(n+1))/Fn)=exp(u*Sn)E(exp(u*X(n+1))) (獨立性) =exp(u*Sn+h(u))
兩邊乘上exp(-(n+1)*h(u)) E(M(n+1)/Fn)=Mn (為一平賭)
選擇u=ln(q/p) exp(u*Xi)=(q/p)^Xi 且 Eexp(u*Xi)=1 so h(u)=lnE(exp(u*Xi))=0 且 exp(u*Sn-n*h(u))=(q/p)^Sn
E(Mn/F0)=M0 E(Mn)=E(M0)----->[(q/p)^(x+b)]*(1-u)+[q/p)^(0)]*(u)=x ---->u=[(q/p)^(b+x)-(q/p)^(x)]/[q/p)^(b+x)-1]
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