小比爾的部落格

若Xn  i=1,2...n  為定義在機率空間(拓樸空間的一種)上的隨機變數
其極限函數 limXn 亦為隨機變數  令為X   即 對所有的w 屬於樣本空間
    limXn=x(w)
換言之 {w/ limXn(w)=X(w)}=樣本空間omega  
故     P{w/ limXn(w)=X(w)}=1
若樣本空間omega  的部分集合
   {w/ limXn(w)=X(w)} 屬於 樣本空間omega  其機率為1
則稱為Xn幾乎確定收斂至 X    以Xn----a.s.---->X

Xn----a.s.---->X    <------>   P{w/ limXn(w)=X(w)}=1
  <------>   P{w/ limXn(w) 不等於 X(w)}=0

也可以稱為Xn  以機率為1  收斂到X  (w.p.1)

{w / limXn(w)=X(w)}
= {w / 對於所有epsilon > 0 , 存在N屬於自然數 , 對所有n>=N ; limXn(w)=X(w)}
=交集(epsilon > 0)聯集(N屬於自然數)交集(對所有n>=N){w / Xn(w)-X(w)的絕對值小於epsilon}

故 {w / limXn(w)不等於X(w)}=聯集(epsilon > 0)交集(N屬於自然數)聯集(對所有n>=N){w / Xn(w)-X(w)的絕對值大於epsilon}
  

當Xn----a.s.---->X    <------>  
P[聯集(epsilon > 0)交集(N屬於自然數)聯集(對所有n>=N){w/ Xn(w)-X(w)的絕對值大於epsilon}]=0
而  對所有epsilo > 0   
P[聯集(epsilon > 0)交集(N屬於自然數)聯集(對所有n>=N){w/ Xn(w)-X(w)的絕對值大於epsilon}]大於等於
P[交集(N屬於自然數)聯集(對所有n>=N){w/ Xn(w)-X(w)的絕對值大於epsilon}]



當Xn----a.s.---->X    <------>   對所有epsilon > 0   
P[交集(N屬於自然數)聯集(對所有n>=N){w/ Xn(w)-X(w)的絕對值大於epsilon}]
=limP[聯集(對所有n>=N){w / Xn(w)-X(w)的絕對值大於epsilon}]
=P[w / (存在n>=N , 對所有N屬於自然數 ,{w /  Xn(w)-X(w)的絕對值大於epsilon}]
(因為聯集(對所有n>=N){w/ Xn(w)-X(w)的絕對值大於epsilon}為遞減的)