小比爾的部落格

Mt 是一平賭(優賭 劣賭也可)
如果 supE(Mt的絕對值)<無限大 則幾乎確定有一極限值存在
lim(t->無限大)Mt=Y 且Y是可積分的RV

1.Mt[=f(s)在0與t作Ito 積分 ] 是均勻可積平賭
因為SUPt>0E(Mt^2)= SUPt>0E[f^2(s)在0與t對s積分]=f^2(s)在0與無限大對s積分
所以 Mt是均勻可積

Y=M(t為無限大)=f(s)在0與無限大作Ito 積分

Y-Mt=f(s)在t與無限大作Ito 積分 ---> 0 (t-->無限大)

E(Y/Ft)=E(M(t為無限大)/Ft)=E(f(s)在0與無限大作Ito 積分/Ft)=f(s)在0與t作Ito 積分=Mt


2.Mt=E[I(Y>0)/Ft] Y=f(s)在0與無限大作Ito 積分 where f(s)is non-random
Mt=E[I(Y>0)/Ft]=I(Y>0)*f(y/Ft)對y積分=f(y,Ft)對y在大於零做積分/f(Ft)=P(Y>0/Ft)
=P(f(s)在大於t作Ito 積分>-f(s)在0到t作Ito 積分/Ft)=N(f(s)在0到t作Ito 積分/(f^2(s)在大於t對S積分)^0.5)