小比爾的部落格

1655年23歲的牛頓創造出改變科學歷史、革命性的數學手法---微積分(Calculus)，在今天微積分普遍運用於人造衛星的軌道、建築物的強度、經濟狀況的變化等廣範圍的計算。既使說微積分撐起現代的文明社會應該也不為過。16~17世紀的歐洲國家為了爭奪歐洲霸權各地烽火連天，在戰爭中要求具有強大威力的大砲一定要正確命中目標因此研究砲彈軌跡的「彈道學」一時之間大為興盛。砲彈的飛行軌跡是曲線但很長的一段時間人們無法正確計算出砲彈的飛行軌跡會是什麼樣的形狀。
進入17世紀微積分發展所不可或缺的工具出現了，這就是法國數學家笛卡兒和費馬創造出"座標"(coordinate)，座標是指平面上的某一點可以用與原點相距的「縱」和「橫」的距離來表示者。使用座標直線與曲線皆可以x和Y的式子來表示。砲彈飛行問題原點設為發射砲彈地點，x軸為從發射地點算起的水平方向距離，Y軸為砲彈飛行高度，則發射出之砲彈所畫出的拋物線也可用x和Y的式子來表現。求出砲彈飛行過程中不斷變化中的行進方向必須要有計算變化的新數學，這個新數學就是「微分法」，有這有力的工具不論什麼曲線(函數)皆可畫出切線(導函數；將函數微分)。牛頓之前計算不規則土地面積時採用方式是切割成細長方形，切份之後再加總就是積分但這種計算繁雜誤差也大，1665年牛頓發現到積分是微分的逆運算，一舉解決了積分計算的繁雜性。
 
微積分創始者牛頓在20幾歲時在數學、物理學與光學等領域完成了革命性的工作。

若Xn  i=1,2...n  為定義在機率空間(拓樸空間的一種)上的隨機變數
其極限函數 limXn 亦為隨機變數  令為X   即 對所有的w 屬於樣本空間
    limXn=x(w)
換言之 {w/ limXn(w)=X(w)}=樣本空間omega  
故     P{w/ limXn(w)=X(w)}=1
若樣本空間omega  的部分集合
   {w/ limXn(w)=X(w)} 屬於 樣本空間omega  其機率為1
則稱為Xn幾乎確定收斂至 X    以Xn----a.s.---->X

一如前面提到股票價格成布朗運動，若在b+c時買進股票，而現在的價格為b，假設經過時間Ｔ或價格在達到b+c時就賣掉，
則賠錢機率為多少?
首先這是一種鏡像原理（reflection principle)的應用，也是stopping time原理的運用
把股價走勢圖(隨機過程)以股價為c的水平線當成一面鏡子  讓股價以此鏡子在時間tow(c)以後對稱折射

隨機漫步以機率論的說法來表示往不同方向任意移動之粒子的模型，就像喝醉的人走路，這裡晃幾步那裏晃幾步，完全漫無章法。其為分析現實世界中不規則且無法預測現象的工具。
EX:假設一站在原點的醉客往右走一步(+1)與往左走一步(-1)的機率都是0.5
接著第二次也是同樣以0.5機率往右(+1)或左(-1)踏出一步令y=每次步輻 ，deltat為每踏一步的時間 ， 時間T總共走了(T/deltat)次
deltaX=y*[I(1)+I(2)+........I(T/deltat)]
P=P{I(1)=1}=1-P{I(1)= -1}   設P=0.5
E(deltaX)=0
Var(deltaX)=E(deltaX)^2=(y^2)*[T/deltat]   [ ]為高斯符號
上式開根號所以移動的距離(擴散距離diffusion)為時間的平方根乘上每次移動距離y
擴散距離=(y)*[T/deltat]^0.5
自然界的布朗運動(水分子碰撞到微粒，微粒以各種不同強度彈射到各個方向所產生現象)也跟隨機漫步
有相關，擴散(diffusion)的現象就跟隨機漫步非常相似，兩者也都是用來解析不規則且複雜之現象的數學工具。
布朗運動可以中央極限定裡(分配收斂:機率論中收斂最弱，只要累積分配函數相同)收斂到常態分配。
兩者差別在於 RW有設定好可能運動方向 但是布朗運動是所有方向皆有可能
RW在踏出下一步的步輻與時間點都是固定的 布朗雲動則是不規則的
所以布朗運動是RW的極限
隨機漫步

每次進我的信箱 都發現有的郵件被歸為垃圾郵件
其運作方式是靠機率統計的貝式統計(Bayes stastic ；使用條件機率重算機率，提高預測準確度)
教科書上 常舉的例子就是有A與B兩個箱子 裡面各自有紅球籃球   A裡面有較多的紅球  B裡面有較多籃球
P(A/B)=[P(A發生垃圾郵件使用語彙1,B發生垃圾郵件使用語彙1)+...+P(A發生垃圾郵件使用語彙n,B發生垃圾郵件使用語彙n)]/[P(B發生垃圾郵件使用語彙1)+....+P(B發生垃圾郵件使用語彙n]

西元1827年，英國植物學家勞伯‧布朗 (Robert Brown) 利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中的花粉粒時
，發現這些花粉粒會做連續快速而不規則的隨機移動(會走的曲折軌跡，股價走勢圖也有這一現象)，這種移動稱為布朗運動 (Brownian motion)。
布朗運動有下列主要特性：
一、
粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線(分子走的是曲折軌跡也就是連續卻處處不可微分，也就是有尖角)。
二、
粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
三、
粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
四、
粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
五、
粒子的運動永不停止。
布朗運動在理論上與應用上已與波松過程 構成了兩種最基本的隨機過程。
20世紀初期
愛因斯坦 (Einstein) 及史莫盧可夫斯基 (Smoluchovski) 發現不管粒子的運動有多麼不規則，
布朗運動仍可以用機率律來分析，其研究說明了粒子在一段時間內之位移是根據常態分配(高斯分配)的。

首先這是一場零和遊戲(zero sum game)
the loss of one person is the gain of the other
假設在賭博在時間t結束

終止過程 M(min(t,終止時間)) 是一平賭
E[M(min(t,終止時間))]=E[M(0)]

Mt 是一平賭(優賭 劣賭也可)
如果 supE(Mt的絕對值)<無限大 則幾乎確定有一極限值存在
lim(t->無限大)Mt=Y 且Y是可積分的RV

均勻可積
E(X絕對值)=[E(X絕對值*I(X絕對值>n))+E(X絕對值*I(X絕對值<無限大
則X稱為可積分
一過程X(t),0<=t<=T 在E(X絕對值*I(X絕對值>n)) 在n-->無限大時 收斂到零